Gleichungen und Lösungsmengen

Ist x=5 eine Lösung für 22+x=27 ?

Ich bin gerade sehr überrascht, in meinem Mathebuch „Neue Wege“ keine Spur einer Lösungsmenge zu entdecken. Stattdessen wird x=5 als Lösung angeboten. Aber streng genommen stimmt das doch nicht.
x=5 ist eine Gleichung, über deren Wahrheitswert man, im Gegensatz zur falschen Aussage 7=5, nichts Genaues sagen kann. Ebenso verhält es sich mit 22+x=27.
x=5 und 22+x=27 sind äquivalente Gleichungen: jede Lösung der ersten Gleichung ist auch Lösung der zweiten Gleichung und umgekehrt. Aber nicht x=5 löst die erste Gleichung (was ist denn (x=5)=5 ?), sondern 5 allein, denn 5=5 ist wahr. Also ist 5 auch eine Lösung der zweiten Gleichung. Diese Lösung fasst man mit anderen Lösungen in der „Menge aller Zahlen, die man an Stelle von x in 22+x=27 einsetzt und dann eine wahre Aussage erhält“, kurz „Lösungsmenge“, zusammen.

Soll ich nun alle mathematische Korrektheit über Bord werfen und froh sein, dass die Schüler wenigstens die Äquivalenzumformungen verstanden haben? Oder soll ich gerade an dieser Stelle das Verständnis für Logik fördern? Ich bin da gerade sehr unsicher geworden.

Aus Absicht

Als Einstieg einen Kreis mit Radius z an die Tafel gezeichnet und vom Schüler die Formel für den Flächeninhalt pi*z*z=a nennen lassen. „Haben Sie das aus Absicht gemacht?“

(Fürs Volumen geht die Pizza auch.)

Vorarbeiten

Arbeitsauftrag in der 9. Klasse: „Finde heraus, wie weit ein Rad gerollt ist, wenn es sich einmal um sich selbst gedreht hat.“
Der erste meldet sich. „Der Umfang ist 2*pi*r, damit kann man das doch leicht berechnen.“ „Woher kennst du die Formel?“ „Steht auf S. 120 im Buch.“ „Und du glaubst alles, was du liest?“ „Naja, sonst wäre der Verlag doch schon längst pleite.“
Wo er recht hat, hat er recht. Ein lieb gemeinter problemorientierter Einstieg verpufft allerdings mit so einer Aussage. Einerseits finde ich es schlau von dem Schüler, sich an geeigneter Stelle selbstständig zu informieren. Andererseits entdeckt der Schüler dann doch nichts mehr. Er hat seine Formel und ist damit zufrieden. Warum sollte die nicht stimmen? Warum sollte sie noch begründet werden?
Ein anderer Dialog offenbarte nicht das Buch, sondern den Nachhilfelehrer als Informationsquelle. Der hatte das schon vor kurzem besprochen. Aber heißt Nachhilfelehrer nicht eigentlich NACHhilfelehrer? Wenn der uns schon die Inhalte vorweg nimmt, nur damit sein Schützling dann im Unterricht durch die Infomationen glänzen kann, ist er dann nicht ein VORhilfelehrer?
Schade, wenn sich die Schüler nicht darauf einlassen, selbst etwas entdecken zu wollen, sondern vorgefertigte Formeln aus Büchern ablesen. Dabei könnten sie so verstehen, was hinter den Formeln steckt, nämlich die spannende Mathematik.

(Bild: Mykl Roventine, CC-by 2.0)

Klasse 5, Große Zahlen

Benötigst du einen Einstieg in eine Stunde mit den Großen Zahlen?
Dann könnte der DominoDay 2009 etwas für dich sein.

Mathematische Adventskalender

Am 1.12. gehts wieder los. Dann kann bis zum 24.12. jeden Tag ein Türchen geöffnet werden und ein Stückchen Schokolade genascht werden. Wer aber eine weniger süße aber dennoch abwechslungsreiche Kost bevorzugt, dem empfehle ich den Mathe-Adventskalender. Jeden Tag muss eine spannende Matheaufgabe gelöst werden. Diese wird um 18Uhr veröffentlicht und kann bis 24 Uhr ohne Zeitverlust gelöst werden. Danach werden die Minuten gezählt. Ziel ist, die Aufgaben mit möglichst wenig Zeitverlust zu lösen. Aber Vorsicht, die Aufgaben sind nicht ohne, das habe ich in den letzten Jahren festgestellt.

Hier entlang zum Mathekalender (ab Klasse 10) (the one and only)

Eine Alternative für Jüngere: Mathe im Advent (für Klasse 5-7)

Einfalls- und Ausfallswinkel

Jonglieren im Dreieck – Michael Moschen performs THE TRIANGLE:

Falsche Diagramme

Gar nicht so einfach, absichtlich Diagramme zu fälschen: Da wird der Kugelschreiber fein säuberlich neben den Karolinien entlang gezogen, auf dass die Abweichung besonders deutlich wird. Die Nichtbeschriftung der Achsen erfordert besondere Aufmerksamkeit, sonst rutscht plötzlich noch die „Anzahl der Schüler“ durch. Die unterschiedliche Einteilung einer Achse muss konzentriert vorgenommen werden, um sich ja nicht zu verzählen. Nur das Vergessen der letzten Säule, das geschah aus Versehen.

Alle Neune!

Heute ist ein besonderer Tag – der 09.09.09! Grund genug für mich, in meinen 5. eine Neuner-Stunde durchzuführen. Zuerst habe ich ein paar Worte über die Zahl 9 gesagt, dabei auch die Sprichwörter „Alle Neune“ und „Ach du grüne Neune!“ erwähnt. Dann folgte, wie sonst auch, eine Kopfrechenübung (Wiederholung der Grundrechenarten), diesmal aber kam immer die 9 darin vor. Dadurch, dass ich gerade mit den Körpern angefangen habe, folgte eine Beschreibung eines 9-seitiges Prismas. Die Schüler sollten die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen sowie die jeweilige Art der Flächen nennen. Hier schloss sich eine Untersuchung mitgebrachter Körper auf diese Eigenschaften (Ecken, Kanten, Flächen) hin an, die die Schüler präsentiert haben (9 Gruppen). Diese Eigenschaften wurden in einer Tabelle festgehalten. Und als Hausaufgabe gabs die Seite 4*9 im Arbeitsheft.

Den Schülern hats Spaß gemacht. Vor allem hielten sie das neunseitige Prisma für etwas ganz besonderes, und außerdem warteten sie immer darauf, wo als nächstes die 9 auftauchen wird. Schade nur, dass ich nächstes Jahr ein neues Prisma basteln muss, damit es mit dem Datum stimmt (10.10.10 ist eben spannender als 09.09.10).

Irrtümer der Notenberechnung

Lehrer drücken ihre Bewertungen gerne in Noten oder in Kreuzen und Strichen aus. Am Ende des Schuljahres soll daraus die Gesamtnote entstehen, die aus Durchschnittswerten und pädagogischem Einfluss besteht. Gerne wird die Mathematik dahinter als objektiv angesehen, und 3,46 hinterlässt einfach einen tieferen Eindruck als „ungefähr drei“. Aber so wie man gerne in die Statistik-Fallen tappt, so passieren auch dem Lehrer Fehler in der Interpretation des berechneten Wertes. Schnell wird aus 3,46 die Note 3 (ohne den pädagogischen Zusatz), und auch die unterschiedliche Gewichtung der Halbjahresnoten (von den mündlichen Noten ganz zu schweigen) verbirgt so manchen Patzer. Kurt Vogelsberger hat einige häufige Irrtümer der Notengebung aufgegriffen und mathematisch analysiert, und er zeigt uns, dass wir doch etwas genauer über unsere Notengebung nachdenken sollten.

Mein neuer Taschenrechner

In Niedersachsen ist der graphikfähige Taschenrechner verpflichtend. Heute halte ich so ein Gerät zum ersten Mal in der Hand. Es ist der TI-84 Plus. Nach einigen Versuchen mit Hilfe der Bedienungsanleitung bin ich zwar immer noch nicht überzeugt, dass das Gerät einfacher und vielseitiger als GeoGebra ist, aber dennoch wird es schon ganz nüzlich im Unterricht sein, wenn Laptop und Beamer nicht zur Hand sind. Meine 7. bekommt den auch bald, und da werde ich mir zu der TR-Einführung, die ich vor einem Jahr mit einem anderen TR gemacht habe, gerätespezifisch Gedanken machen müssen. Hilfe sehe ich in den Arbeitsblättern zur Einarbeitung und in der Unterrichtsmaterialien-Datensammlung von TI selbst.