Krakenprognosen

Mensch, da hat doch tatsächlich Kraken Paul alle Spiele für Deutschland richtig getippt! Eins von 20000 Tieren eines Wasserzoos.Doch wie hoch ist eigentlich die Wahrschienlichkeit, alles richtig zu tippen?

Wir wollen dazu einen richtig tollen Kleintierzoo mit einigen schlauen Tieren aufbauen. Schlau bedeutet, wenigstens ein Tier sagt alle Spiele richtig voraus, ein paar Tiere vertippen sich bei einem Spiel. Aber nicht das Tier wählt selbst, sondern wir ordnen ihm einen Tipp zu. So können wir eine Mindestanzahl bestimmen, sonst könnte ja alle Tiere das gleiche falsche tippen. Wie viele Tiere müsste unser Zoo beinhalten?

Betrachten wir die Anzahl aller möglichen Tipps. Es gibt insgesamt 7 Spiele. In den ersten drei Spielen kann Deutschland gewinnen (G), verlieren (V) oder Remis spielen (R), in den folgenden Spielen nur gewinnen oder verlieren. Mal angenommen, eine Gruppe von Tieren legt vorher eine Tippreihe fest, d.h. nach einem verlorenen Spiel kann trotzdem noch weitergespielt werden. Dann bräuchten wir 3*3*3*2*2*2*2 = 432 Tiere. Aber das ist ja nur unsere Obergrenze, denn nach dem Achtel- und Viertelfinale ist man bereits ausgeschieden, wenn man verloren hat. Unsere Anzahl verringert sich daher auf 3*3*3*6 = 162. Das ist schon ein großer Unterschied! Mit einer Hamster- und Mäusezucht kämen wir schnell auf diese Anzahl. Aber das wäre nicht abwechslungsreich, und man könnte uns hinterher noch vorwerfen, dass man die Hamster nicht voneinander unterscheiden konnte und wir somit das Ergebnis beeinflusst haben.

Allerdings kommt nicht jeder durch die Vorrunde und kann dann im Achtelfinale antreten. Die Hälfte aller Mannschaften fällt hier raus. Mit anderen Worten, die Hälfte der darauffolgenden Tipps ist ungültig, da sie nie überprüft werden können. Unser Kleintierzoo müsste demnach aus 3*3*3*0,5*6 = 81 Tieren bestehen, so dass ein wir ein richtig schlaues Tier in unserem Zoo unser eigen nennen dürfen. Problem: wie sortieren wir nach den Gruppenspielen aus? Wir benötigen ja 6 Tiere für die weiteren Vorhersagen.

An dieser Stelle erkläre ich das Vorhersagenspiel: jedes Tier bekommt ja eine Vorhersage zugeordnet, entscheidet also nicht selbst. (Wo kämen wir den hin, wenn plötzlich jedes Tier selbst entscheiden könnte? 😉 ) In der ersten Runde werden die Tiere in drei Gruppen aufgeteilt. Gruppe 1 wird ein Sieg zugeordnet, Gruppe 2 das Remis und Gruppe 3 ein Verlust. Eine Aufteilung in drei gleichgroße Gruppen für jedes Gruppenspiel scheidet aus, denn so würden nur 3 Tiere am Ende übrig bleiben, die das richtige vorhergesagt haben. Verlustgruppen können wir etwas kleiner halten als Gewinn- oder Remisgruppen, denn ein Verlust bringt keine Punkte, derer wir aber mindestens 5 benötigen, um weiterzukommen, manchmal reichen auch 4 Punkte (in 3 der 8 Gruppen reichte es in den diesjährigen Gruppenspielen aus).

Der Trick ist jetzt, das Spiel von hinten aufzudröseln. Wir benötigen ja 6 Tiere am Ende des Gruppenspiels, also setzen wir ans Ende jedes Pfades, an dem wir noch ein Weiterkommen erwarten können, 6 Tiere. Die restlichen Tiere verteilen wir dann auf die Pfade, mit denen wir garantiert nicht weiterkommen werden (mit 2 oder weniger Punkten). Dies sind 20 Pfade, also benötigen wir 120 Tiere.

Aber Moment, eigentlich hatten wir doch nur 81 Tiere zur Verfügung.Der Fehler in der obigen Rechnung liegt darin, dass die Mannschaften nicht zufällig weiterkommen, sondern diejenigen mit 9 Punkten auf jeden Fall, diejenigen mit 3 Punkten aber weniger wahrscheinlich und diejenigen mit 2 Punkten gar nicht. Damit unser Zoo todsicher ein Supertier hat, müssen wir auch die Pfade mit geringeren Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen, wodurch sich nun die Anzahl der benötigten Tiere erhöht (tja, Sicherheit hat ihren Preis). Die Aufteilung für unser Gewinnerkonzept sieht also so aus:

So können wir uns mit einer guten Flache Sekt gewiss sein, dass unser Zoo bei der WM 2014 berühmt dafür wird, einen richtig tollen WM-Hamster zu beherbergen.
Was für Vorhersagen sind dann mit Pauls 20000 Mitbewohnern aus seinem Unterwasserzoo möglich?

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