Tangentenlaufen

Glaubt man Danckwerts und Vogel in „Analysis verständlich unterrichten“, dann haben Schüler Schwierigkeiten damit, den Übergang von der Sekanten- zur Tangentensteigung zu verstehen. Die Autoren nennen hierfür drei Gründe:
1. Der Begriff Tangente ist bei Schülern für Geraden reserviert, und damit verbraucht, die Kreise genau einmal schneiden. Dieser einmalige Schnittpunkt ist bei Funktionen im Allgemeinen nicht gegeben, die Gerade kann den Graphen der Funktion an anderer Stelle erneut schneiden.
2. Die Tangente als Grenzgerade von Sekanten aufzufassen widerspricht der Idee, dass eine Gerade durch genau zwei Punkte eindeutig definiert ist – warum sollte sie es nun plötzlich durch einen Punkt sein?
3. Fraglich ist, ob dieser Grenzwert überhaupt existiert. Was tut man, wenn es diesen Grenzwert nicht gibt? (Man denke hier z.B. an die Betragsfunktion)

Danckwerts und Vogel schlagen daher einen andereren Weg, über die momentane Änderungsrate, vor. Das kann z.B. ein Autofahrer sein, der sich beschwert, dass er mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 50 km/h, die innerorts erlaubt sind, trotzdem geblitzt wurde (mein Unterrichtseinstieg). Die Frage, wie man diese Momentangeschwingkeit überhaupt messen kann, führt dann zu kürzeren Intervallen bis hin zu einem so kleinen Intervall, in der man die Momentangeschwindigkeit ablesen kann.

Doch wie kann man den Sprung zur Tangente und ihrer Steigung überwinden? Meine Idee geht dahin, dass ich im Klassenraum ein Seil auf dem Boden auslege, dies stellt den Graph einer Funktion dar. Ein Schüler läuft dann auf diesem Graphen entlang, bis der Lehrer (oder ein anderer Schüler) Stopp ruft. Ab dort läuft der Schüler dann in seiner Blickrichtung geradeaus weiter (kann man auch mit einem Stab oder Besenstiel unterstützen). Diese Gerade, die die „Blickrichtung“ des Graphen wiedergibt, heißt dann Tangente des Graphen an dieser Stelle.

Mit Hilfe dieser Blickrichtung lässt sich gut erklären, warum die Betragsfunktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist: die Blickrichtungen von links, also für negative x, und von rechts, also für positive x, liegen nicht auf der gleichen Gerade.

Aber vielleicht ist mein Plan nicht ganz altersgerecht für Klasse 10…

Eine Antwort zu Tangentenlaufen

  1. Andreas Sander sagt:

    Hallo Jessica,

    finde den Plan des „Tangentenlaufens“ an sich super. Wie auch dein letzter Satz besagt, kann ich mir vorstellen, dass es vielleicht schwierig sein wird die SuS (10. Klasse) dafür zu motivieren das Experiment mitzumachen.

    Bis wann brauchst du den Unterrichtsentwurf? Ich werde auch mal darüber nachdenken, ob mir noch ein anderer (besserer) Einstieg einfällt. Aber im Prinzip super Idee!

    Gruß Andreas

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